Senza peso e senza freni: il moto in assenza di atmosfera

In un corso di Balistica, più precisamente di Balistica Esterna,ⁱ lo studio della traiettoria del vuoto è di solito il primo argomento che viene proposto. È il punto di partenza, le espressioni matematiche sono semplici e quindi funzionali a prendere confidenza con gli elementi di base che creano il moto parabolico (propedeutici a quelli, decisamente più complessi, che caratterizzano la traiettoria nell’atmosfera).

Da giovane ufficiale frequentatore della Scuola di Applicazione, questo è ciò che avevo appreso; all’epoca queste informazioni potevano essere sufficienti, ma nel tempo ho capito che l’argomento meritava di essere approfondito e solo diversi anni dopo, con un po’ di esperienza, ho potuto comprendere che in realtà vi erano alcune interessanti applicazioni.

Prima di entrare nel vivo, è tuttavia necessario descrivere (senza eccessivi tecnicismi) la traiettoria nel vuoto. A scuola, più o meno tutti abbiamo studiato l’equazione della parabola: y= ax²+bx+ c. Ora, per facilità di lettura, prendiamo a riferimento la traiettoria assunta da un proietto sparato da un obice di artiglieria (ma i concetti espressi sono estensibili a tutte le armi/sistemi d’arma).

Dal momento che la traiettoria è una parabola con concavità rivolta verso il basso e che interseca l’asse delle x (il terreno) in due punti (l’origine e l’impatto), l’espressione di riferimento è: y= – ax²+bx. Nel caso specifico, l’equazione è la seguente:

Si tratta semplicemente dell’equazione y= – ax²+bx scritta con i termini invertiti: y= bx – ax².

L’equazione sopra riportata contiene solo tre parametri: la velocità iniziale Vo, l’angolo di proiezione φ e l’accelerazione di gravità g, ma solo i primi due possono variare; la velocità iniziale è quella assunta dal proietto nel momento in cui abbandona la volata dell’arma, l’angolo di proiezione è l’angolo acuto che la tangente alla traiettoria nell’origine forma con l’orizzonte del pezzo; l’accelerazione di gravità è fissa (9,81 m/s²).

Non compare altro; poiché la traiettoria si sviluppa nel vuoto, la forma e il peso del proiettoⁱⁱ sono ininfluenti e ciò, come anticipato in premessa, facilita lo studio.

Senza troppe complicazioni, ci si accontenti di sapere che l’equazione della gittata nel vuoto (cioè la distanza orizzontale del punto di caduta P dall’origine O, come da figura) si ricava ponendo y=0 con il seguente risultato finale:

Nel mondo reale, si capisce, l’atmosfera e la resistenza dell’aria sono sempre presenti. Tuttavia, attraverso queste poche ma sufficienti nozioni si può comprendere come questo modello ideale può trovare applicazione sia come approssimazione diretta, sia in ambienti privi di atmosfera.

Occorre fissare sin da subito un importante concetto: la traiettoria atmosferica tanto più si avvicina a quella nel vuoto quanto più pesante è il proietto/proiettile e più bassa la velocità iniziale. Se il proiettile è leggero, la resistenza dell’aria può diventare preponderante e le formule per il vuoto diventano inapplicabiliⁱⁱⁱ.

Quindi, se un corpo “vola” con una velocità bassa ed è sufficientemente pesante, se ne può calcolare la traiettoria e la gittata utilizzando le formule per il vuoto ottenendo un risultato più che soddisfacente.

Come prima e divertente applicazione proposta, si va nello sport con il lancio del giavellotto; prendendo a riferimento alcuni studi di biomeccanica^iv risalenti a diversi anni fa, un certo atleta ha ottenuto la distanza di 81,72 m con i seguenti dati: velocità iniziale: 28,7 m/s – angolo di proiezione: 39,7°.

Inserendo questi dati nell’equazione della gittata nel vuoto, si ottiene una distanza di 82,53 m. La differenza tra la prestazione reale e il calcolo è pari a 0,81 m, meno dell’1%.

^{_{Immagine tratta da “Aspetti tecnici e biomeccanici del lancio del giavellotto” a cura del Prof. D. Di Molfetta, rielaborata e semplificata dall’autore}}

Vediamo cosa succede con qualche esempio in campo militare. Si ipotizzi di sparare, in assenza di atmosfera, un proietto con un angolo di proiezione φ=45° ed una carica che realizzi una velocità iniziale V₀=167 m/s: la gittata che si ottiene con il noto calcolo è superiore a quella reale di circa 310 m (tenendo conto della massa e del calibro proietto, rispettivamente circa 19 kg e 120 mm). La differenza sembra importante ma è solo pari a circa l’11%. Non mi si fraintenda, nel tiro di artiglieria un errore di 300 m è tutt’altro che trascurabile ma in questa sede l’approccio è diverso; serve per capire come capitalizzare certe informazioni. Per qualche ragione, in condizioni di estrema emergenza (inefficienza totale dei sistemi di calcolo), può essere utile determinare rapidamente alcune gittate con una approssimazione accettabile, specie se le distanze sono molto corte.

Un’applicazione tecnico-militare più centrata si ha nel calcolo delle traiettorie di rimbalzo. Nelle esercitazioni di artiglieria, allo scopo di garantire la massima sicurezza nel tiro, le aree di sgombero sono calcolate tenendo conto, tra l’altro, del possibile rimbalzo dei proietti. Quando un proietto rimbalza, la sua velocità iniziale in quell’istante è certamente minore della velocità di caduta (cioè quella nel momento in cui il proietto sta per impattare); Questa velocità iniziale corrisponde ad un valore massimo pari ai 2/3 della velocità di caduta (che è un dato noto). Attraverso l’equazione della gittata nel vuoto, con l’aggiunta di un coefficiente correttivo che tiene conto del calibro e delle diverse velocità di rimbalzo (che può avere un valore massimo di circa 1), si ottiene la gittata massima della traiettoria di rimbalzo. Per avere un’idea: per un proietto cal. 155 mm che rimbalza e che “inizia una nuova traiettoria” con una velocità di circa 167 m/s, la gittata massima è pari a circa 2640 m.

Ora un paio di note di colore, anche per alleggerire a metà percorso questa trattazione.

La prima consiste in una interessante annotazione storica, proprio sul rimbalzo dei proietti. Fino alla metà del secolo XIX, le artiglierie non avevano ancora la canna rigata ed utilizzavano le note palle da cannone. Ecco che il tiro di rimbalzo (terreno permettendo) era utilizzato per aumentare la gittata del cannone e conseguentemente colpire con tiro radente obiettivi in profondità, collocati anche al di là di un ostacolo. Tale tecnica fu anche oggetto di studio ed approfondimento da parte di Camillo Benso Conte di Cavour il quale, va ricordato, fu un ufficiale del Genio prima di diventare il politico e lo statista che tutti noi conosciamo. Egli, verosimilmente tra il 1827 ed il 1828, produsse un manoscritto dal titolo “Del tiro di rimbalzo”.^v Tra i vari argomenti toccati, non manca l’equazione della traiettoria nel vuoto che in quel periodo storico e con le caratteristiche dei proietti di allora (lenti e pesanti) aveva perfettamente senso… anche se Cavour la descrisse con gli assi cartesiani invertiti (le ascisse erano sull’asse y)^vi

La seconda nota di colore è hollywoodiana e riguarda la gittata nel vuoto applicata nello spazio. In una sequenza del film “Il diritto di contare” (2016), la matematica Katherine Johnson durante una riunione mostra ai presenti come poter ricavare le coordinate di rientro della navicella spaziale di John Glenn. Nell’immagine si vede un passaggio, in cui compare proprio l’equazione della gittata nel vuoto^vii.

Le leggi del moto nel vuoto sono altresì applicabili per i movimenti sulla superficie lunare, ovviamente adattando il valore dell’accelerazione di gravità. Ad esempio, se un lander deve proiettare un rover.

Come in parte già rimarcato, a velocità iniziali crescenti aumenta sensibilmente la differenza tra la gittata nell’atmosfera e quella nel vuoto, fino a rendere quest’ultima inapplicabile. A titolo di esempio: un proietto di obice semovente USA M109 A2/A3 sparato nel vuoto con V₀ =565 m/s e φ=800°° raggiungerebbe una gittata pari a circa 32 km. In presenza di atmosfera (massa del proietto circa 44 kg e calibro 155 mm), la gittata è di poco oltre la metà.

Ho lasciato per ultimo l’argomento che forse genera maggiore appeal e che peraltro si raccorda ad altri miei contributi già pubblicati. La traiettoria dei missili balistici.

Occorre intanto definire a che altitudine la resistenza dell’aria si può considerare trascurabile. Non esiste una risposta univoca, poiché dipende dal contesto applicativo. Per strutture in orbita, anche ad altitudini molto importanti (200 km o nel caso della Stazione Spaziale Internazionale ben oltre i 300 km) vi è resistenza, molto piccola ma tuttavia significativa poiché durevole nel tempo.

La risposta soddisfacente per i nostri scopi è la linea di Kàrmàn^viii, confine immaginario che a 100 km di altezza separa l’atmosfera terrestre dallo spazio esterno.

I missili balistici si dividono nelle seguenti categorie: ICBM (InterContinental Ballistic Missile) a lungo raggio, con una gittata superiore a 5.500 km. IRBM (Intermediate Range Ballistic Missile) a raggio intermedio, con una gittata compresa tra 3.000 e 5.500 km. MRBM (Medium Range Ballistic Missile) a medio raggio, con una gittata compresa tra 1.000 e 3.000 km. SRBM (Short Range Ballistic Missile) a corto raggio con una gittata compresa tra 300 e 1.000 km. CRBM (Close Range Ballistic Missile) per impieghi ravvicinati, con una gittata fino a 300 km.

Per gli scopi di questo articolo, non è importante sapere quante e quali testate nucleari possono trasportare le varie tipologie di missili balistici. Occorre invece ragionare sul tipo di traiettoria che seguono. Un missile balistico è definito tale in quanto è guidato solo nella fase iniziale del volo (cioè nella fase di spinta, con i motori accesi). Non si affida a superfici aerodinamiche per produrre portanza; al termine della spinta, segue una traiettoria balistica (volo libero).

Da questa definizione si comprende intanto che la traiettoria balistica non è necessariamente sviluppata nel vuoto, seppur ad altitudini molto elevate. Ad esempio, il SRBM della Corea del Nord con designazione USA KN-24 (quella nordcoreana è Hwasong-11B/Na) nel terzo lancio di prova del 21 marzo 2020, ha raggiunto un apogeo di 50 km e una gittata di 410 km. A questa altitudine la densità dell’aria è appena l’1 % di quella al livello del mare; sembra trascurabile ma non lo è. Il KN-24 (così come i missili che hanno prestazioni analoghe) viaggia a velocità che nella fase propulsiva e nella discesa arriva a Mach 6 (sei volte la velocità del suono). Non si conosce la velocità nella fase intermedia di volo libero, ma certamente è ipersonica. Dal momento che la resistenza dell’aria cresce con il quadrato della velocità, il missile la percepisce; l’aria è ancora sufficientemente densa da consentire alle alette del missile di correggere la rotta….in barba alla definizione di missile balistico. Alcune fonti lo definiscono infatti “quasi-balistico”.

Lo statunitense Minuteman III, che è un ICBM con una gittata massima di 13.000 km, raggiunge un apogeo superiore ai 1.000 km (variabile a seconda delle configurazioni di carico). Attorno ai 5 minuti supera abbondantemente la linea di Kàrmàn e per 20-25 minuti segue una traiettoria nel vuoto. In questa fase vengono rilasciate le testate ma anche i decoys e le chaffs. I primi sono delle “esche” che appaiono come possibili bersagli per ingannare le contromisure avversarie (e per essere davvero efficaci devono essere simili alle testate). Le seconde sono grandi quantità di filamenti/lamelle metalliche che generano una “nuvola” che i radar avversari vedono come zona confusa da molti riflessi. Lo sgancio delle testate e dei predetti dispositivi di difesa non è simultaneo (occorre evitare pericolose collisioni) ma comunque molto ravvicinato, a pochi secondi di distanza; il motivo è intuibile: come già sottolineato, nel vuoto la massa degli oggetti è ininfluente per cui le traiettorie sono molto simili. In questo modo, la difesa antimissile deve distinguere le testate da molti altri possibili bersagli, con il rischio di intercettare un falso.^ix Naturalmente il Minuteman III non è l’unico missile balistico con queste caratteristiche e prestazioni.

Il moto nel vuoto è importante per le ragioni appena esposte, che si aggiungono a quelle più ovvie dovute alla possibilità di spegnere i razzi al termine della fase di spinta (burnout) e alle elevate velocità che possono essere mantenute durante il volo senza attrito (midcourse phase)^x.

Va opportunamente sottolineato che non ci si è volutamente soffermati sui sistemi di navigazione inerziali /GPS/GLONASS ecc. di cui sono dotati i missili balistici, poiché non di specifico interesse per questa trattazione.

^{_{Grafica riassuntiva delle fasi di funzionamento di un missile balistico. Il burnout indica la fase di spegnimento dei motori; l’altitudine e l’angolo che presenta il missile in quell’istante influenza la traiettoria successiva (fonte: portale Militarypedia)}}

In conclusione, si può ragionevolmente affermare che lo studio del moto nel vuoto non deve essere declassato a mero esercizio di cultura matematica. Se è certamente vero che la stragrande maggioranza di ciò che “vola” lo fa in presenza di atmosfera, gli esempi illustrati (che non sono gli unici) ci mostrano una interessante e tutt’altro che trascurabile nicchia di applicazioni.

BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA

1. BULLETIN OF THE ATOMIC SCIENTISTS su https://thebulletin.org/nuclear-risk/nuclear-weapons/nuclear-notebook/

CENTER FOR STRATEGIC INTERNATIONAL STUDIES su https://missilethreat.csis.org/missile/.

2. FONDAZIONE FILIPPO BURZIO (2011), Del tiro di rimbalzo, Editore Centro Studi Piemontesi.
3. MORI E., Enciclopedia delle armi su https://www.earmi.it/balistica/default.htm.
4. GARUFI M. su www.fidal-lombardia.it
5. https://www.militarypedia.it/introduzione-al-missile-balistico/
6. Altre fonti o siti web citati direttamente nel testo.

^{i La Balistica è definita come il ramo della fisica meccanica che studia il moto di un proietto/proiettile dall’esplosione dell’innesco, e quindi della carica di lancio, al momento dell’impatto con il bersaglio. Si suddivide in: Balistica Interna (all’interno della bocca da fuoco), Balistica Intermedia (nel momento in cui il proiettile sta per uscire dalla volata dell’arma), Balistica Esterna (la traiettoria) e Balistica Terminale (impatto ed effetti sul bersaglio/obiettivo). Quest’ultima comprende la Balistica Lesionale, con chiaro riferimento agli effetti provocati sul bersaglio animato. La suddivisione è ovviamente a scopo didattico/funzionale, dal momento che non c’è soluzione di continuità tra le “balistiche”.}

^{ii Nella terminologia militare il “proietto” ha un calibro uguale o superiore ai 25 mm, mentre con “proiettile” si intende tutto ciò che ha calibro inferiore. A titolo di esempio: sono proiettili i calibri 5,56 mm, 7,62 mm e 9 mm delle armi portatili; sono proietti sono i calibri 105 mm e 120 mm per MBT e 155 mm per obici di artiglieria.}

^{iii MORI. E. , Enciclopedia delle armi.}

^{iv GARUFI M., su www. fidal-lombardia.it.}

^{v La Fondazione Filippo Burzio, nel 2011, rese fruibile il manoscritto curato da Vittorio Marchis.}

^{vi Escludendo che si potesse trattare di un errore grossolano, tra le varie ipotesi c’è quella che afferma che i testi di artiglieria di allora si rifacevano alla geometria francese del ‘700, dove l’assegnazione delle lettere agli assi cartesiani non era ancora rigidamente standardizzata.}

^{vii Alcune fonti riportano che la sceneggiatura è stata verificata da storici della NASA e che i passaggi matematici sono realistici. Nel film, la matematica Johnson sembra essere stata coinvolta all’ultimo momento nell’illustrare il processo, scrivendo di getto e “in diretta”, ma questo non è verosimile; nella realtà si è trattato di un lavoro lungo e corposo.}

^{viii La definizione di questo confine è stata adottata dalla FAI (Fédération Aéronautique Internationale) all’inizio degli anni ’60 e prende il nome da Theodore von Kármán, ingegnere di ricerca ungherese-americano. Dalla sua autobiografia: “(….) a 57 miglia di altitudine (….) non c’è più aria a generare portanza: prevale solo la forza centrifuga. Questo è certamente un confine fisico, dove l’aerodinamica si ferma e l’astronautica comincia, e quindi ho pensato perché non potesse diventare un confine giuridico?”}

^{ix Con il rientro nell’atmosfera, le chaff rallentano significativamente; riguardo i decoy ne esistono di più tipologie, tra cui quelli particolarmente robusti che, nella fase di rientro nell’atmosfera, mantengono un “firma” credibile per proteggere le testate.}

^{x BULLETIN OF THE ATOMIC SCIENTISTS su https://thebulletin.org/nuclear-risk/nuclear-weapons/nuclear-notebook/ e CENTER FOR STRATEGIC INTERNATIONAL STUDIES su https://missilethreat.csis.org/missile/. Il tutto integrato da alcune osservazioni dell’autore.}

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